Question

在平面直角坐標系xOy中，已知C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），將C₁上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的

2

和2倍后得到曲線C₂以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（

2

cosθ+sinθ）=4
（1）試寫出曲線C₁的極坐標方程與曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）在曲線C₂上求一點P，使點P到直線l的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：

分析：（1）把C₁消去參數(shù)化為普通方程為 x²+y²=1，再化為極坐標方程．根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C₂的普通方程，再化為極參數(shù)方程．
（2）先求得直線l的直角坐標方程，設(shè)點P（

2

cosθ，2sinθ），求得點P到直線的距離為d=

2| 2 sin(θ+ π 4 )-2|

3

，故當sin（θ+

π

4

）=1時，即θ=2kπ+

π

4

，k∈z時，點P到直線l的距離的最小值，從而求得P的坐標以及此最小值

解答：解：（1）把C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為 x²+y²=1，
故曲線C₁：的極坐標方程為ρ=1．
再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C₂的普通方程為(

x

2

)2+(

y

2

)2=1，即

x2

2

+

y2

4

=1．
故曲線C₂的極參數(shù)方程為

x= 2 cosθ y=2sinθ

 （θ為參數(shù)）．
（2）直線l：ρ（

2

cosθ+sinθ）=4，即

2

x+y-4=0，設(shè)點P（

2

cosθ，2sinθ），
則點P到直線的距離為d=

|2cosθ+2sinθ-4|

2+1

=

2| 2 sin(θ+ π 4 )-2|

3

，
故當sin（θ+

π

4

）=1時，d取得最小值，此時，θ=2kπ+

π

4

，k∈z，點P（1，

2

），
故曲線C₂上有一點P（1，

2

）滿足到直線l的距離的最小值為

4 3

3

-

2 6

3

．

點評：本題主要考查把極坐標方程、參數(shù)方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．