Question

12．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)為A₁，A₂，拋物線E以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以A₂為焦點(diǎn)．若雙曲線C的一條漸近線與拋物線E及其準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)M，N，若$\overrightarrow{M{A_2}}⊥\overrightarrow{{A_1}{A_2}}$，∠MA₁N=135°，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線的位置關(guān)系，得到拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-a，由∠MA₁N=135°，得三角形MA₁A₂是等腰直角三角形，從而得到b=2a，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵拋物線E以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以A₂為焦點(diǎn)．
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-a
∵$\overrightarrow{M{A_2}}⊥\overrightarrow{{A_1}{A_2}}$，∴MA₂⊥x軸，
設(shè)漸近線為y=$\frac{a}$x，則當(dāng)x=a時(shí)，y=b，即M（a，b），
∵∠MA₁N=135°，
∴∠MA₁A₂=45°，
即三角形MA₁A₂是等腰直角三角形，
則 MA₂=A₁A₂，即b=2a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線和拋物線的關(guān)系確定三角形MA₁A₂是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．