Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)y=f（x）的圖象不在直線y=kx的下方，則實數(shù)k的取值范圍（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，e${\;}^{\frac{π}{2}}$）
• D． （-∞，e${\;}^{\frac{π}{2}}$]

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-ax=e^xsinx-ax，要使f（x）≥ax總成立，只需x∈[0，$\frac{π}{2}$]時g（x）_min≥0，求出g'（x），令h（x）=e^x（sinx+cosx），再求出h'（x），（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），所以h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，所以h（x）∈[1，${e}^{\frac{π}{2}}$]；最后對k分類討論，求出實數(shù)k的取值范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)y=f（x）的圖象不在直線y=kx的下方
故要使f（x）≥kx總成立，只需x∈[0，$\frac{π}{2}$]時g（x）_min≥0，
對g（x）求導(dǎo)，可得g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），
則h'（x）=2e^xcosx＞0，（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）
所以h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
所以h（x）∈[1，${e}^{\frac{π}{2}}$]；
對k分類討論：
①當k≤1時，g'（x）≥0恒成立，
所以g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②當1＜k＜${e}^{\frac{π}{2}}$時，g'（x）=0在上有實根x₀，
因為h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
所以當x∈（0，x₀）時，g'（x）＜0，
所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合題意；
③當k≥${e}^{\frac{π}{2}}$時，g'（x）≤0恒成立，
所以g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為減函數(shù)，
則g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上，可得實數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]，
故選：B．

點評 此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．