分析 (1)由于$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{({\frac{{|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|}}{2}})^2}={a^2}$,則|PF1|•|PF2|的最大值為a2,a2=25,a-c=1,c=4,即可求得b的值,求得橢圓T的方程;
(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,由直線與圓相切代入即可求得A,B坐標(biāo),由兩點(diǎn)之間的距離公式,利用韋達(dá)定理即可求得A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|的最大值;
(3)設(shè)G、H、D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x,y),由題設(shè)知$|{\overrightarrow{GC}}|,|{\overrightarrow{HD}}|,|{\overrightarrow{GD}}|,|{\overrightarrow{CH}}|$,于是$\left\{\begin{array}{l}10=\frac{{{x_1}-λ{(lán)x_2}}}{1-λ}\\ 1=\frac{{{y_1}-λ{(lán)y_2}}}{1-λ}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+λ{(lán)x_2}}}{1+λ}\\ y=\frac{{{y_1}+λ{(lán)y_2}}}{1+λ}\end{array}\right.$.從而$\left\{\begin{array}{l}10x=\frac{{{x_1}^2-{λ^2}{x_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\\ y=\frac{{{y_1}^2-{λ^2}{y_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\end{array}\right.$.又G、H在橢圓上,則$\left\{\begin{array}{l}9{x_1}^2+25{y_1}^2=9×25\\ 9{x_2}^2+25{y_2}^2=9×25\end{array}\right.$,化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)D在定直線18x+5y-45=0上.
解答 解:(1)由于$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{({\frac{{|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|}}{2}})^2}={a^2}$,
所以|PF1|•|PF2|的最大值為a2,
當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào),由已知可得a2=25,即a=5,又a-c=1,c=4,
所以b2=a2-c2=9,
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)分別為直線l與橢圓和圓的切點(diǎn),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.
因?yàn)锳既在橢圓上,又在直線AB上,從而有$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$,消y得(25k2+9)x2+50kmx+25(m2-9)=0.
由于直線與橢圓相切,故,△=(50km)2-4(25k2+9)×25(m2-9)=0,
從而可得m2=9+25k2①,且${x_1}=\frac{-25k}{m}$②.
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}={R^2}\\ y=kx+m\end{array}\right.$,消y得(k2+1)x2+2kmx+m2-R2=0.由于直線與橢圓相切,得m2=R2(1+k2)③,且${x_2}=-\frac{{k{R^2}}}{m}$④.
由①③得${k^2}=\frac{{{R^2}-9}}{{25-{R^2}}}$,
故${|{AB}|^2}={({{x_2}-{x_1}})^2}+{({{y_2}-{y_1}})^2}=({1+{k^2}}){({{x_2}-{x_1}})^2}$,
=$\frac{m^2}{R^2}•\frac{{{k^2}{{({25-{R^2}})}^2}}}{m^2}=\frac{{{R^2}-9}}{R^2}•\frac{{{{({25-{R^2}})}^2}}}{{25-{R^2}}}=25+9-{R^2}-\frac{225}{R^2}$,
$≤34-2\sqrt{{R^2}×\frac{225}{R^2}}=34-30=4$,即|AB|≤2.
當(dāng)且僅當(dāng)$R=\sqrt{15}$時(shí)取等號(hào),所以|AB|的最大值為2.
(3)證明:設(shè)G、H、D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x,y),由題設(shè)知$|{\overrightarrow{GC}}|,|{\overrightarrow{HD}}|,|{\overrightarrow{GD}}|,|{\overrightarrow{CH}}|$,
均不為零,記$\frac{{|{\overrightarrow{GC}}|}}{{|{\overrightarrow{CH}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{GD}}|}}{{|{\overrightarrow{DH}}|}}=λ$,則λ>0且λ≠1,又C、G、D、H四點(diǎn)共線,則$\overrightarrow{GC}=-λ\overrightarrow{CH},\overrightarrow{GD}=λ\overrightarrow{DH}$.
于是$\left\{\begin{array}{l}10=\frac{{{x_1}-λ{(lán)x_2}}}{1-λ}\\ 1=\frac{{{y_1}-λ{(lán)y_2}}}{1-λ}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+λ{(lán)x_2}}}{1+λ}\\ y=\frac{{{y_1}+λ{(lán)y_2}}}{1+λ}\end{array}\right.$.從而$\left\{\begin{array}{l}10x=\frac{{{x_1}^2-{λ^2}{x_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\\ y=\frac{{{y_1}^2-{λ^2}{y_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\end{array}\right.$.
又G、H在橢圓上,則$\left\{\begin{array}{l}9{x_1}^2+25{y_1}^2=9×25\\ 9{x_2}^2+25{y_2}^2=9×25\end{array}\right.$,消去x1,y1,x2,y2得90x+25y=9×25,
即點(diǎn)D在定直線18x+5y-45=0上.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,考查基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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零件個(gè)數(shù)x(個(gè)) | 1 | 2 | 3 | 4 |
加工時(shí)間y(小時(shí)) | 2 | 3 | 5 | 8 |
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A. | 8,4,3 | B. | 6,5,4 | C. | 7,5,3 | D. | 8,5,2 |
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