Question

8．如圖，橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1，A是其右頂點(diǎn)，B是該橢圓在第一象限部分上的一點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{4}$．若點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍為[-9，3]．

Answer 1

分析 由由橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1焦點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，0），直線OB所在的直線為：y=x，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），代入即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍．

解答 解：由橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1焦點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，0），∵∠AOB=$\frac{π}{4}$，
∴直線OB所在的直線為：y=x，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程里，有：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$
解得：x²=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴當(dāng)cosθ=-1時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最小值，最小值為-6-3=-9，
當(dāng)cosθ=1時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最大值，最大值為6-3=3，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍[-9，3]．
故答案為：[-9，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，直線與橢圓的關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．