10.定義行列式$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a1a4-a2a3,函數(shù)g(θ)=$|\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}|$(其中$0≤θ≤\frac{π}{2}$).
(1)求$g(\frac{π}{2})$的值;
(2)若函數(shù)g(θ)的最大值為4,求m的值.

分析 (1)由條件可得g(θ)=sin2θ-m(3-cosθ),從而求得$g(\frac{π}{2})$的值.
(2)根據(jù)g(θ)=-${(cosθ-\frac{m}{2})}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1,cosθ∈[0,1],利用二次函數(shù)的性質(zhì),分類討論求得當g(θ)的最大值為4時,m的值.

解答 解:(1)∵行列式$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a1a4-a2a3,函數(shù)g(θ)=$|\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}|$=sin2θ-m(3-cosθ) (其中$0≤θ≤\frac{π}{2}$).
∴$g(\frac{π}{2})$=${sin}^{2}\frac{π}{2}$-m(3-cos$\frac{π}{2}$)=1-3m.
(2)∵函數(shù)g(θ)=sin2θ-m(3-cosθ)=1-cos2θ+mcosθ-3m=-${(cosθ-\frac{m}{2})}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1.
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$,∴cosθ∈[0,1].
當$\frac{1}{2}$m∈[0,1]時,可得當cosθ=$\frac{m}{2}$時,g(θ)的最大值為4,即 $\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1=4,求得m=6+4$\sqrt{3}$ (舍去)或m=6-4$\sqrt{3}$(舍去).
當$\frac{1}{2}$m<0時,可得當cosθ=0時,g(θ)的最大值為1-3m=4,∴m=-1.
$\frac{1}{2}m$>1時,可得當cosθ=1時,g(θ)的最大值為m-3m=-2m=4,∴m=-2(舍去).
綜上可得,m=-1.

點評 本題主要考查新定義,余弦函數(shù)的定義域和值域,二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.

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