Question

20．已知z₁，z₂是兩個不相等的復(fù)數(shù)且z₁=1+i，則復(fù)數(shù)$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-{\overline{{z}_{1}}z}_{2}}$的模為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 不能確定

Answer 1

分析 法一、由z₁=1+i，可得2=$|{z}_{1}{|}^{2}={z}_{1}\overline{{z}_{1}}$，代入$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-{\overline{{z}_{1}}z}_{2}}$，分母提取$\overline{{z}_{1}}$，約分后求模得答案．
法二、設(shè)z₂=a+bi（a，b∈R），求出|z₁-z₂|，$|2-\overline{{z}_{1}}{z}_{2}|$，即可得到復(fù)數(shù)$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-{\overline{{z}_{1}}z}_{2}}$的模．

解答 解：法一、∵z₁=1+i，∴$\overline{{z}_{1}}=1-i$，則${z}_{1}•\overline{{z}_{1}}=2$，
則$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-{\overline{{z}_{1}}z}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{{z}_{1}\overline{{z}_{1}}-\overline{{z}_{1}}{z}_{2}}=\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{\overline{{z}_{1}}（{z}_{1}-{z}_{2}）}=\frac{1}{\overline{{z}_{1}}}$，
∴|$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-{\overline{{z}_{1}}z}_{2}}$|=|$\frac{1}{\overline{{z}_{1}}}$|=$\frac{1}{|\overline{{z}_{1}}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：A．
法二、設(shè)z₂=a+bi（a，b∈R），
則z₁-z₂=（1-a）+（1-b）i，$|{z}_{1}-{z}_{2}{|}^{2}=（1-a）^{2}+（1-b）^{2}={a}^{2}+^{2}+2$-2a-2b，
$\overline{{z}_{1}}=1-i$，
2-$\overline{{z}_{1}}{z}_{2}$=2-（1-i）（a+bi）=（2-a-b）+（a-b）i，
$|2-\overline{{z}_{1}}{z}_{2}{|}^{2}=（2-a-b）^{2}+（a-b）^{2}$=4-4（a+b）+（a+b）²+（a-b）²
=4-4a-4b+2a²+2b²=2（a²+b²+2-2a-2b）=$2|{z}_{1}-{z}_{2}{|}^{2}$，
∴$|\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-\overline{{z}_{1}}{z}_{2}}{|}^{2}=\frac{|{z}_{1}-{z}_{2}{|}^{2}}{|2-\overline{{z}_{1}}{z}_{2}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$，
則復(fù)數(shù)$\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{2-{\overline{{z}_{1}}z}_{2}}$的模為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．