如圖,△ABC內(nèi)接于圓柱的底面圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,DC、EB是兩條母線,且 tan∠EAB=
3
2

(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE,證明你的結(jié)論.
分析:(1)利用圓柱母線的性質(zhì)和“等積變形”即可得出;
(2)利用圓柱母線的性質(zhì)、線面、面面垂直的判定和性質(zhì)即可得出.
(3)利用三角形的中位線定理和線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明.
解答:解:(1)∵EB是圓柱的母線,∴EB⊥平面ABC.
又∵tan∠EAB=
3
2
=
EB
AB
=
EB
2
,∴EB=
3

∵AB是圓O的直徑,∴∠ACB=90°.
又AB=2,BC=1,∴AC=
3
,
S△ABC=
1
2
×1×
3
=
3
2
,
∴VC-ABE=VE-ABC=
1
3
S△ABC×EB
=
1
3
×
3
2
×
3
=
1
2

(2)∵DC、EB是兩條母線,∴DC⊥平面ABC,DC∥EB,DC=EB.
∴四邊形BCDE是矩形,∴ED∥BC.
∵DC⊥平面ABC,∴BC⊥DC.
又AC∩DC=C,∴BC⊥平面ACD,
∴ED⊥平面ACD,
∵ED?平面AED,∴平面ACD⊥平面ADE.
(3)在CD上存在一點(diǎn)M為線段CD的中點(diǎn),使得MO∥平面ADE.
連接BD,取其中點(diǎn)F,連接OM、FM.
由三角形的中位線定理可得:OF∥AD,
而OF?平面ADE,AD?平面ADE,
∴OF∥平面ADE.
同理可知:FM∥平面ADE.
又OF∩FM=F.
∴平面OFM∥平面ADE.
∴OM∥平面ADE.
點(diǎn)評:熟練掌握圓柱母線的性質(zhì)和“等積變形”、線面、面面垂直與平行的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,設(shè)AE與平面ABC所成的角為θ,且tanθ=
3
2
,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE?證明你的結(jié)論.

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