Question

8．如圖所示，從圓O外一點(diǎn)M做圓O的割線MAB、MCD，AB是圓O的直徑，MA=$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{7}$-1，CD=2．
（1）求圓O的半徑；
（2）求∠CBD．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓O的半徑為R，由圖求出MB、MD，根據(jù)切割線定理的推論列出方程求出R；
（2）連接OC、OD，由勾股定理的逆定理判斷出∠COD=90°，由圓周角與圓心角的關(guān)系求出∠CBD．

解答 解：（1）設(shè)圓O的半徑為R，
因?yàn)镸A=$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{7}-1$，CD=2，
則MB=MA+AB=$\sqrt{2}$+2R，MD=MC+CD=$\sqrt{7}+1$     （1分）
根據(jù)切割線定理的推論得：MC•MD=MA•MB       （3分）
即（$\sqrt{7}-1$）（$\sqrt{7}+1$）=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+2R）
解得：R=$\sqrt{2}$，即圓O的半徑為$\sqrt{2}$          （5分）
（2）連接OC、OD，則OC=OD=$\sqrt{2}$          （6分）
$O{C}^{2}+O{D}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=4=CD²           （8分）
根據(jù)勾股定理的逆定理得，∠COD=90°              （9分）
所以$∠CBD=\frac{1}{2}∠COD=45$°                 （10分）

點(diǎn)評 本題考查了切割線定理的推論，勾股定理的逆定理，以及圓周角與圓心角的關(guān)系，屬于中檔題．