已知函數(shù)f(x)=1-
42ax+a
(a>0且a≠1)
是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
(3)當x∈(0,1]時,t•f(x)≥2x-2恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)因為函數(shù)為奇函數(shù),則有f(-x)=-f(x),有f(0)=0得到a的值;
(2)設(shè)y=f(x)化簡求出2x>0得到y(tǒng)的不等式,求出解集即可得到函數(shù)值域;
(3)將f(x)代入到不等式中化簡得到一個函數(shù)f(u)=u2-(t+1)•u+t-2小于等于0,即要求出f(u)的函數(shù)值都小于等于0,根據(jù)題意列出不等式求出解集即可得到t的范圍
解答:解:(1)∵f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),即f(-x)=-f(x)
令x=0得f(0)=1-
4
a0+a
=0,解得a=2

(2)記y=f(x),即y=
2x-1
2x+1
,∴2x=
1+y
1-y
,由2x>0知
1+y
1-y
>0

∴-1<y<1,即f(x)的值域為(-1,1).
(3)不等式tf(x)≥2x-2,即為
t•2x-t
2x+1
2x-2

即(2x2-(t+1)•2x+t-2≤0,設(shè)2x=u,∵x∈(0,1],∴u∈(1,2].
∴當x∈(0,1]時,tf(x)≥2x-2恒成立,即為u∈(1,2]時u2-(t+1)•u+t-2≤0恒成立.
12-(t+1)×1+t-2≤0
22-(t+1)×2+t-2≤0

解得:t≥0.
點評:考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時取條件的能力,運用函數(shù)奇偶性的性質(zhì),會求函數(shù)值域的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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