Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，
棱AA₁=2，M、N分別為A₁B₁、A₁AD的中點(diǎn)．
（ I ）求 ＞的值；
（II）求證：BN⊥平面C₁MN；
（ III）求點(diǎn)B₁到平面C₁MN的距離．

Answer 1

解：（ I ） 以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，以CC₁所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系．
則A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （1，0，2），B₁ （ 0，1，2），C₁（0，0，2），M（，，2），
N（1，0，1），
∵=（1，-1，2），=（ 0，1，2）．
∴===．
（II）∵=（1，-1，1），=（，，0），=（1，0，-1），
∴=-+0=0，=1-0-1=0，∴，，
∴BN⊥平面C₁MN．
（ III）設(shè)點(diǎn)B₁到平面C₁MN的距離為h，∵V_B1-C1MN=，
∴×（MN•MC₁ ）h=×（B₁M•C₁M ） NA₁，
即 ×（• ）h=×（•• ）×1，∴h=．
分析：（ I ）建立空間坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩個(gè)向量的夾角公式 求得 ＞的值．
（II） 由=0，=0，得到 ，，
從而得到BN⊥平面C₁MN．
（II） 設(shè)點(diǎn)B₁到平面C₁MN的距離為h，由V_B1-C1MN=，解方程求得 h 值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的夾角公式，線面垂直的判定，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，準(zhǔn)確求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的
關(guān)鍵．