Question

【題目】 設函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，

（i）證明恰有兩個零點

（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.

Answer 1

【答案】（I）在內(nèi)單調(diào)遞增.；

（II）（i）見解析；（ii）見解析.

【解析】

（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，判斷導數(shù)在對應區(qū)間上的符號，從而得到結(jié)果；

（II）（i）對函數(shù)求導，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點個數(shù)，得到結(jié)果；

（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結(jié)果.

（I）解：由已知，的定義域為，

且，

因此當時，，從而，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

（II）證明：（i）由（I）知，，

令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，

又，且，

故在內(nèi)有唯一解，

從而在內(nèi)有唯一解，不妨設為，

則，當時，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞增；

當時，，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

因此是的唯一極值點.

令，則當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，

從而當時，，所以，

從而，

又因為，所以在內(nèi)有唯一零點，

又在內(nèi)有唯一零點1，從而，在內(nèi)恰有兩個零點.

（ii）由題意，，即，

從而，即，

以內(nèi)當時，，又，故，

兩邊取對數(shù)，得，

于是，整理得，