Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n²+λn（λ∈R），且a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜a_n+1＜…，則λ的取值范圍是（-3，+∞）．

Answer 1

分析 由已知，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，得出a_n+1-a_n＞0對(duì)于任意n∈N^*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分離參數(shù)法求實(shí)數(shù)λ的取值范圍即可．

解答 解：∵a_n=n²+λn①
∴a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）②
②-①得a_n+1-a_n=2n+1+λ．
由已知，數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
則a_n+1-a_n＞0對(duì)于任意n∈N^*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知當(dāng)n=1時(shí)，-（2n+1）的最大值 為-3，
∴λ＞-3
故答案為：（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題．