Question

函數(shù)f(x)=

3

sin2x+cos2x，給出下列三個(gè)命題：
①函數(shù)f(x)在區(qū)間[

π

6

，

2π

3

]上是減函數(shù)；
②直線x=

π

6

是函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)軸稱；
③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移

π

12

而得到．
其中正確的是

①②

．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，
①通過函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，直接判斷，函數(shù)f(x)在區(qū)間[

π

6

，

2π

3

]上是減函數(shù)，是否正確；
②利用x=

π

6

，函數(shù)是否取得最值，判斷直線x=

π

6

是函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)軸稱是否正確；
③直接按照函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移

π

12

而得到求出函數(shù)的解析式，即可判斷正誤．

解答：解：函數(shù)f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
①因?yàn)?span id="blxffrx" class="MathJye">2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
令k=0，-

π

3

≤x≤

2π

3

，函數(shù)f(x)在區(qū)間[

π

6

，

2π

3

]上是減函數(shù)；所以①正確．
②當(dāng)x=

π

6

時(shí)，是函數(shù)f（x）=2sin（2×

π

6

+

π

6

）=2，
此時(shí)函數(shù)取得最大值，所以x=

π

6

是函數(shù)的圖象的一條對(duì)軸稱；正確．
③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移

π

12

而得到f（x）=2sin（2x-

π

6

），
不正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、圖象的平移，考查基本知識(shí)的靈活運(yùn)用．