Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2ωx+2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期為π．
（I） 求ω的值；
（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)三角公式對函數(shù)進行整理，得到f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)+1，再直接代入周期計算公式即可求ω的值；
（II）先根據(jù)自變量的取值范圍，代入得到-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，再代入解析式即可求出結(jié)論．

解答：解：（I）依題意f（x）=

3

sin2ωx+2•

cos2ωx+1

2

．（2分）
=

3

sin2ωx+cos2ωx+1（3分）
=2sin(2ωx+

π

6

)+1（5分）
∵T=

2π

2ω

=π．（6分）
∴ω=1（7分）
（2）∵0≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

（9分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（10分）
∴0≤2sin(2ωx+

π

6

)+1≤3，（12分）
∴函數(shù)的取值范圍是[0，3]（13分）

點評：本題主要考查函數(shù)周期性的應(yīng)用以及三角函數(shù)的值域．在求三角函數(shù)的值域時，一定要先求自變量的取值范圍，研究在對應(yīng)范圍上的單調(diào)性，在寫結(jié)論，避免出錯．