Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+m，0≤x≤1\\ mx+5，x＞1\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（-5，0）．

Answer 1

分析 由分段討論函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)可知f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，從而化為函數(shù)f（x）在[0，1]與（1，+∞）上各有一個零點；從而求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：當(dāng)0≤x≤1時，
f（x）=2x³+3x²+m，
f′（x）=6x²+6x=6x（x+1）≥0；
故f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
故若使函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有兩個不同的交點，
則函數(shù)f（x）在[0，1]與（1，+∞）上各有一個零點；
故m＜0，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）≤0}\\{m+5＞0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{m•（5+m）≤0}\\{m＞-5}\end{array}\right.$，
解得，m∈（-5，0）；
故答案為：（-5，0）．

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用．考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．