函數(shù)f(x)=1-ax2(a>0,x>0),該函數(shù)圖象在點(diǎn)P(x0,1-ax02) 處的切線為l,設(shè)切線l 分別交x 軸和y 軸于兩點(diǎn)M和N.
(1)將△MON (O 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S 表示為x0 的函數(shù)S(x0);
(2)若在x0=1處,S(x0)取得最小值,求此時(shí)a的值及S(x0)的最小值;
(3)若記M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(m,0),函數(shù)y=f(x) 的圖象與x軸交于點(diǎn)T(t,0),則m與t的大小關(guān)系如何?證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)道說(shuō)的幾何意義可得函數(shù)圖象在點(diǎn)P(x
0,1-ax
02) 處的切線的斜率為f
′(x
0)=-2ax
0再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程然后根據(jù)題意易得M,N的坐標(biāo)再根據(jù)面積公式
S△MON=|oM||oN|即可得解.
(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上可利用
S′(x0)==0判斷出s(x
0)的單調(diào)性然后根據(jù)單調(diào)性可得出S(x
0)的最小值以及取得最小值時(shí)a的值.
(3)求出t的值結(jié)合(1)得m=
再結(jié)合t的值將m拆成和的形式在利用基本不等式進(jìn)行放縮即可得解.
解答:解:(1)∵f(x)=1-ax
2(a>0,x>0)
∴f
′(x)=-2ax
∴f
′(x
0)=-2ax
0∴函數(shù)圖象在點(diǎn)P(x
0,1-ax
02) 處的切線為y-(1-ax
02)=-2ax
0(x-x
0)即y=-2ax
0x+1+ax
02∴M(
,0),N(0.1+ax
02)
∴
S△MON=|oM||oN|=
(2)令
S′(x0)==0則
x0=∴當(dāng)0<x
0<
時(shí)s
′(x
0)<0則s(x
0)單調(diào)遞減
當(dāng)
x0>時(shí)s
′(x
0)>0則s(x
0)單調(diào)遞增
∴
當(dāng)x0==1 時(shí),面積最小此時(shí)
a=,Smin= (3)由題意知t=
又∵m=
=
+≥=
∴m≥t
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要知道在某一點(diǎn)出切線的斜率即為在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),而第二問(wèn)要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)S(x0)的單調(diào)性進(jìn)而求其最小值,第三問(wèn)關(guān)鍵是將m拆成和的形式在利用基本不等式進(jìn)行放縮.