Question

設(shè)函數(shù)，，其中實數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個公共點且存在最小值時，記的最小值為，求的值域；
（3）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

試題分析：（1）這是一個三次函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題，此類問題比較熟悉，三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，它的零點容易求出，但要注意對零點大小的比較，才能準(zhǔn)確寫出單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)與的圖象只有一個公共點，知方程只有一個根（含重根），結(jié)合有最小值，可求出的取值范圍，而是一個二次函數(shù)，易得它提最小值，最后可求出的值域；（3）由（1）的過程和結(jié)果易知的單調(diào)增區(qū)間，應(yīng)是其子區(qū)間，再由的單調(diào)增區(qū)間，也應(yīng)是其子區(qū)間，從而確定的取值范圍，要注意分類討論思想的應(yīng)用.
試題解析：（1）∵，又
∴當(dāng)或時，；當(dāng)時，
∴的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為．
（2）由題意知
即恰有一根（含重根）∴，即，
又，且存在最小值，所以
又，∴，∴的值域為．
（3）當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，由題意得，解得．
當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，由題意得，解得．
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．