Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)分別作曲線和的切線，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；

（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）詳見解析

（3）

【解析】

試題分析：第（1）問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對(duì)參數(shù)的分類討論；第（2）問(wèn)背景為指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱的特征，得到過(guò)原點(diǎn)的切線也關(guān)于直線對(duì)稱，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點(diǎn)存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問(wèn)題，得到不等式的證明；第（3）問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問(wèn)題，求導(dǎo)過(guò)程中用到了課后習(xí)題這個(gè)結(jié)論，考查學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的掌握程度．

試題解析：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070614029078966124_DA/SYS201507070614029078966124_DA.011.png">，對(duì)求導(dǎo)，得．

①若，對(duì)一切有，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

②若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）設(shè)切線的方程為，切點(diǎn)為，則，

，所以，，則．

由題意知，切線的斜率為，的方程為．

設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，則，

所以，．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070614029078966124_DA/SYS201507070614029078966124_DA.037.png">，消去和后，整理得.

令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

若，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070614029078966124_DA/SYS201507070614029078966124_DA.047.png">，，所以，

而在上單調(diào)遞減，所以．

若，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070614029078966124_DA/SYS201507070614029078966124_DA.053.png">在上單調(diào)遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知，．

（3），．

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070614029078966124_DA/SYS201507070614029078966124_DA.009.png">，所以，

在上遞增，恒成立，符合題意．

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070614029078966124_DA/SYS201507070614029078966124_DA.066.png">，所以在上遞增，且，則存在，使得．

所以在上遞減，在上遞增，又，所以不恒成立，不合題意．

綜合①②可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題.