如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面,且
(1) 求證:;
(2) 若直線與平面所成的角為,求銳二面角的大小。
(1)過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).
解析試題分析:本題以直三棱柱為背景,考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),作出輔助線AD,即可得到,利用面面垂直的性質(zhì),得到,再利用線面垂直的性質(zhì),得到,同理,得到,利用線面垂直的判定,得到側(cè)面,從而利用線面垂直的性質(zhì),得到;第二問(wèn),可以利用傳統(tǒng)幾何法,證明二面角的平面角為,在三角形中,利用邊角關(guān)系解出角的值,還可以利用向量法,建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出平面和平面的法向量,利用夾角公式計(jì)算.
試題解析:(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接, 1分
因,則 2分
由平面側(cè)面,且平面側(cè)面, 3分
得,又平面,
所以. 4分
因?yàn)槿庵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4d/c/fllah.png" style="vertical-align:middle;" />是直三棱柱,
則,
所以.
又,從而側(cè)面 ,
又側(cè)面,故. 7分
(2)解法一:連接,由(1)可知,則是在內(nèi)的射影∴ 即為直線與所成的角,則 8分
在等腰直角中,,且點(diǎn)是中點(diǎn)
∴ ,且,
∴ 9分
過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn),連
由(1)知,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是正方形,⊥平面,, ,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,在直角梯形中,,,且.現(xiàn)以為一邊向形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,為的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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如圖,平面平面,四邊形為矩形,.為的中點(diǎn),.(1)求證:;(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知四棱錐的底面為直角梯形,,底面,且,,是的中點(diǎn).
(1)證明:面面;
(2)求與所成的角的余弦值;
(3)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱柱中,已知平面平面且,.
(1)求證:
(2)若為棱上的一點(diǎn),且平面,求線段的長(zhǎng)度
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