Question

4．已知f（$\frac{x-1}{x+1}$）=-x-1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=$\frac{x-1}{x+1}$，則x=$\frac{-t-1}{t-1}$，代入即可得到f（x）的解析式；
（2）運(yùn)用定義判斷f（x）在[2，6]的單調(diào)性，計(jì)算即可得到所求函數(shù)的最值．

解答 解：（1）令t=$\frac{x-1}{x+1}$，則x=$\frac{-t-1}{t-1}$，
∴f（t）=$\frac{2}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{2}{x-1}$（x≠1）…（4分）
（2）任取x₁，x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵2≤x₁＜x₂≤6，∴（x₁-1）（x₂-1）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[2，6]上單調(diào)遞減，…（10分）
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_max=2，當(dāng)x=6時(shí)，f（x）_min=$\frac{2}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．