Question

已知△ABC中，頂點A（4，3），邊AB上的中線CD所在直線的方程是5x-7y-5=0，邊AC上高所在直線的方程是x+y-7=0．
（1）求點B、C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的外接圓的方程．

Answer 1

考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓的一般方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)B（a，7-a），得到線段AB的中點為D(

4+a

2

，

10-a

2

)．由點D在直線5x-7y-5=0上，建立關(guān)于a的等式解出a=5，可得B（5，2）．然后求出AC的斜率，得到AC的方程為y=x-1，再聯(lián)解直線AC、CD方程，可得點C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A、B、C的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于D、E、F的方程組，解之即可得到△ABC的外接圓的方程．

解答： 解：（1）由題意，可得：
∵邊AC上高BE所在直線的方程是x+y-7=0，點B在直線BE上，
∴設(shè)B（a，7-a），可得線段AB的中點為D(

4+a

2

，

10-a

2

)．
∵點D在中線CD：5x-7y-5=0上，
∴5•

4+a

2

-7•

10-a

2

-5=0，解之得a=5，可得B（5，2），
又∵直線AC的斜率k=

-1

kBE

=1，
∴直線AC的方程為y-3=1•（x-4），即y=x-1，
聯(lián)解

5x-7y-5=0 y=x-1

得

x=1 y=0

，可得C的坐標(biāo)為（1，0）．
綜上所述，B、C的坐標(biāo)分別為B（5，2）、C（1，0）．
（2）設(shè)△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

4D+3E+F+25=0 5D+2E+F+29=0 D+F+1=0

，解之得

D=-6 E=-2 F=5

．
∴△ABC外接圓的方程為x²+y²-6x-2y+5=0．

點評：本題給出△ABC的頂點A的坐標(biāo)，在已知中線CD和高BE方程的情況下求B、C兩點的坐標(biāo)，并求△ABC外接圓的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系和圓的一般方程等知識，屬于中檔題．