Question

10．在四棱錐P-ABCD中，$∠DBA=\frac{π}{2}$，$AB\underline{\underline∥}CD$，△PAB和△PBD都是邊長為2的等邊三角形，設(shè)P在底面ABCD的射影為O．
（1）求證：O是AD中點；
（2）證明：BC⊥PB；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明PO⊥底面ABCD，說明點O為△ABD的外心，然后判斷點O為AD中點．
（2）證明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，證明CB⊥BO，BC⊥PO，證明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．
（3）以點O為原點，以O(shè)B，OD，OP所在射線為x軸，y軸，z軸建系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解所以該二面角的余弦值即可．

解答 解：（1）證明：∵△PAB和△PBD都是等邊三角形，
∴PA=PB=PD，
又∵PO⊥底面ABCD，
∴OA=OB=OD，
則點O為△ABD的外心，又因為△ABD是直角三角形，
∴點O為AD中點．
（2）證明：由（1）知，點P在底面的射影為點O，點O為AD中點，
于是PO⊥面ABCD，
∴BC⊥PO，
∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，
∴$∠DBO=∠ODB=\frac{π}{4}$，
又$AB\underline{\underline∥}CD$，∴$∠CBD=\frac{π}{4}$，
從而$∠CBO=\frac{π}{2}$即CB⊥BO，
由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，
∴BC⊥PB．
（3）以點O為原點，以O(shè)B，OD，OP所在射線為x軸，y軸，z軸建系如圖，

∵AB=2，則O（0，0，0），$A（{0，-\sqrt{2}，0}）$，$B（{\sqrt{2}，O，O}）$，$C（{\sqrt{2}，2\sqrt{2}，0}）$，$D（{0，\sqrt{2}，0}）$，$P（{0，0，\sqrt{2}}）$，$\overrightarrow{BA}=（{-\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0}）$，$\overrightarrow{BP}=（{-\sqrt{2}，0，\sqrt{2}}）$，$\overrightarrow{BC}=（{0，2\sqrt{2}，0}）$，
設(shè)面PAB的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，則$\overrightarrow n•\overrightarrow{BA}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0$，得$-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$，$-\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0$，
取x=1，得y=-1，z=1，
故$\overrightarrow n=（{1，-1，1}）$．
設(shè)面PBC的法向量為$\overrightarrow m=（{r，s，t}）$，則$\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0$，得s=0，$-\sqrt{2}r+\sqrt{2}t=0$，
取r=1，則t=1，故$\overrightarrow m=（{1，0，1}）$，
于是$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由圖觀察知A-PB-C為鈍二面角，
所以該二面角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力計算能力．