20.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)$,O為坐標原點,M為長軸的一個端點,若在橢圓上存在點N,使ON⊥MN,則離心率e的取值范圍為(  )
A.$(\frac{{\sqrt{2}}}{2},1)$B.$(0,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$C.$(\frac{{\sqrt{3}}}{2},1)$D.$(0,\frac{{\sqrt{3}}}{2})$

分析 由ON⊥MN,可知$\overrightarrow{ON}$•$\overrightarrow{MN}$=x(x-a)+y2=0,代入橢圓方程,求得b和c的關系,利用離心率公式和離心率取值范圍,即可求得e的取值范圍.

解答 解:橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)$,焦點在x軸上,設M(a,0),N(x,y),則$\overrightarrow{ON}$=(x,y),$\overrightarrow{MN}$=(x-a,y).
由ON⊥MN,
∴$\overrightarrow{ON}$•$\overrightarrow{MN}$=x(x-a)+y2=0
由橢圓方程得y2=b2-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x2代入得c2x2-a3x+a2b2=0.
解得:x=a,或x=$\frac{a^{2}}{{c}^{2}}$,
由題意0<$\frac{a^{2}}{{c}^{2}}$<a.
∴b2<c2
∴a2-c2<c2
解得e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$>$\frac{1}{2}$,
∵0<e<1
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$<e<1.
離心率e的取值范圍為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,1).
故選:A.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查向量與圓錐關系的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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