Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin²ωx-$\sqrt{3}$cosωx•cos（ωx+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)運(yùn)用二倍角公式和化一公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求ω的值；
（2）將函數(shù)運(yùn)用誘導(dǎo)公式和化一公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²ωx-$\sqrt{3}$cosωx•cos（ωx+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\sqrt{3}cosωxsinωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$
∵f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$可得，
T=π=$\frac{2π}{2ω}$，故ω=1．
（2）由（1）得y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+sin[2（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{6}]$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}+\frac{π}{2}）$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+cos（2x-\frac{π}{6}）$
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{12}）$
故函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．