Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x-t）|x|（t∈R），若存在t∈（0，2），對(duì)于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $a≤-\frac{1}{4}$
• B． a≤0
• C． $a≤\frac{1}{4}$
• D． a≤2

Answer 1

分析 寫(xiě)出分段函數(shù)解析式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，分類(lèi)求其值域，把存在t∈（0，2），對(duì)于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，轉(zhuǎn)化為存在t∈（0，2），使得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{（t+1）^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$，則答案可求．

解答 解：f（x）=（x-t）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+tx，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-tx，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（t-1）x，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-（t+1）x，0＜x≤2}\end{array}\right.$．
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，g（x）的最小值為g（-1）=-t；
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，∵$\frac{t+1}{2}$∈（0，2），
∴g（x）的最小值為g（$\frac{t+1}{2}$）=$-\frac{（t+1）^{2}}{4}$．
∴若存在t∈（0，2），對(duì)于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，
故只需存在t∈（0，2），使得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{（t+1）^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{1}{4}}\\{a≤0}\end{array}\right.$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a$≤-\frac{1}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，理解題意是關(guān)鍵，屬難題．