Question

16．某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側(cè)面的厚度不計(jì)）．易拉罐的體積為162πml，設(shè)圓柱的高度為hcm，底面半徑為rcm，且h≥6r．假設(shè)該易拉罐的制造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知易拉罐側(cè)面制造費(fèi)用為m元/cm²，易拉罐上下底面的制造費(fèi)用均為n元/cm²（m，n為常數(shù)，且0＜3m＜n）．
（1）寫出易拉罐的制造費(fèi)用y（元）關(guān)于r（cm）的函數(shù)表達(dá)式，并求其定義域；
（2）求易拉罐制造費(fèi)用最低時(shí)r（cm）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，體積V=πr²h，得$h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}$．y=2πrh×m+2πr²×n．由h≥6r，可得所求函數(shù)定義域．
（2）令$f（r）=\frac{162m}{r}+n{r^2}$，則$f'（r）=\frac{162m}{r^2}+2nr$．由f'（r）=0，解得$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$．當(dāng)n＞2m時(shí)，$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈（0，3]$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）由題意，體積V=πr²h，得$h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}$．
y=2πrh×m+2πr²×n=$2π（\frac{162m}{r}+n{r^2}）$．
因?yàn)閔≥6r，即r≤3，即所求函數(shù)定義域?yàn)椋?，3]．
（2）令$f（r）=\frac{162m}{r}+n{r^2}$，則$f'（r）=\frac{162m}{r^2}+2nr$．
由f'（r）=0，解得$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$．
當(dāng)n＞2m時(shí)，$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈（0，3]$，由，

r	$（0，3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}）$	$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$	$（3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}，3）$
f'（r）	-	0	+
f（r）	減		增

得，當(dāng)$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$時(shí)，f（r）有最小值，此時(shí)易拉罐制造費(fèi)用最低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、圓柱的體積與表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．