Question

20．若函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，則實數a的取值范圍為（-3，1）．

Answer 1

分析 f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），分別令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，得到函數f（x）的單調區(qū)間，要使函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜1＜2a+7}\\{f（a）≥f（1）}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜-3或x＞1，令f′（x）＜0，解得-3＜x＜1，
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞），減區(qū)間為（-3，1）．
所以要使函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1在（a，2a+7）上有最小值，
只需$\left\{\begin{array}{l}{a＜1＜2a+7}\\{f（a）≥f（1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-3＜a＜1}\\{a≥-5}\end{array}\right.$，解得-3＜a＜1，
故答案為：（-3，1）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．