Question

（2010•武清區(qū)一模）如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求平面PAB與平面PCD所成的銳角．

Answer 1

分析：（1）取PD中點(diǎn)為M，連ME，MF．利用三角形的中位線定理和菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理可得四邊形MEBF是平行四邊形．
再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）利用菱形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)可得DF⊥AB，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PD⊥DF，利用線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明；
（3）以A為原點(diǎn)，垂直于AD、AP的方向?yàn)閤軸，AD、AP的方向分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得到二面角．

解答：（1）證明：取PD中點(diǎn)為M，連ME，MF．
∵E是PC的中點(diǎn)，∴ME是△PCD的中位線．
∴ME

∥ .

.

1

2

CD．
∵F是AB中點(diǎn)且由于ABCD是菱形，AB

∥ .

.

CD．
∴ME

∥ .

.

FB，∴四邊形MEBF是平行四邊形．
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，∴BE∥平面PDF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB中點(diǎn)，∴DF⊥AB．
∵PA、AB是平面PAB內(nèi)的兩條相交直線，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）以A為原點(diǎn)，垂直于AD、AP的方向?yàn)閤軸，AD、AP的方向分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
易知P（0，0，1），C（

3

，3，0），D（0，2，0），
F（

3

2

，

1

2

，0）．∴

DC

=(

3

，1，0)，

PD

=(0，2，-1)．
由（2）知DF⊥平面PAB，
∴

DF

=（

3

2

，-

3

2

，0）是平面PAB的一個(gè)法向量．
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）．
則

n • DC = 3 x+y=0 n • PD =2y-z=0

，令y=

3

，解得x=-1，z=2

3

，∴

n

=(-1，

3

，2

3

)．
設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

DF

＞|=

| n • DF |

| n | | DF |

=

1

2

．
∴θ=60⁰
∴平面PAB與平面PCD所成的銳角為60⁰．

點(diǎn)評：熟練掌握線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、菱形的性質(zhì)定理、正三角形的性質(zhì)、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求二面角的方法等是解題的關(guān)鍵．