Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{π}{2}x（0≤x≤2）}\\{lo{g}_{2017}（x-1）（x＞2）}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（　�。�

• A． （4，2018）
• B． （4，2020）
• C． （3，2020）
• D． （2，2020）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在坐標(biāo)系里作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），確定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范圍

解答 解：作出函數(shù)的圖象如圖，直線y=m交函數(shù)圖象于如圖，

不妨設(shè)a＜b＜c，
由正弦曲線的對(duì)稱性，可得（a，m）與（b，m）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
因此a+b=2．
當(dāng)直線y=m=1時(shí)，由log₂₀₁₇（x-1）=1，
解得x-1=2017，即x=2018，
∴若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
由a＜b＜c可得2＜c＜2018，
因此可得4＜a+b+c＜2020，
即a+b+c∈（4，2020），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題以三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為例，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根個(gè)數(shù)討論等知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，觀察圖象的變化，從而得出變量的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．