Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形ABCD的中心，則D₁O與平面ADD₁A₁所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出D₁O與平面ADD₁A₁所成的角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則O（1，1，0），D₁（0，0，2），$\overrightarrow{{D}_{1}O}$=（1，1，-2），
平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設D₁O與平面ADD₁A₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}O}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}O}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{D}_{1}O}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，
cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{6}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
∴D₁O與平面ADD₁A₁所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點評 本題考查線面角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．