Question

14．人如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=60°，AB=2AD，AP⊥BD．
（1）證明：平面ABD⊥平面PAD；
（2）若PA與平面ABCD所成的角為60°，AD=2，PA=PD，求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

Answer 1

分析 （1）證明：BD⊥平面PAD，即可證明平面ABD⊥平面PAD；
（2）利用等體積方法點(diǎn)C到平面PAB的距離．

解答 （1）證明：∵∠BAD=60°，AB=2AD，
∴AD⊥BD，
∵AP⊥BD，AP∩AD=A，
∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面PAD；
（2）解：設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h．取AD的中點(diǎn)O，連接PO，BO，則PO⊥AD，
∵平面ABD⊥平面PAD，
∴PO⊥平面ABD，
∴PO⊥BO，∠PAO=60°，
∵AD=2，AB=2AD，
∴AB=4，PA=2，DB=2$\sqrt{3}$，BO=$\sqrt{13}$，
∴PB=4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{15}h=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．