Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長(zhǎng)是1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H是DD₁的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面A₁C₁H；
（2）過(guò)H作出平面A₁C₁FE的垂線段，垂足為G，求HG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥A₁C₁，利用線面平行的判定定理證明：EF∥平面A₁C₁H；
（2）連接BD，與EF交于N，連接B₁D₁，與A₁C₁交于M，則EF⊥平面B₁D，作HG⊥MN，則HG⊥平面A₁C₁FE，求出HG即可．

解答 （1）證明：∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，
∵A₁C₁∥AC，
∴EF∥A₁C₁，
∵EF?平面A₁C₁H，A₁C₁?平面A₁C₁H，
∴EF∥平面A₁C₁H；
（2）解：連接BD，與EF交于N，連接B₁D₁，與A₁C₁交于M，
則EF⊥平面B₁D，
∵EF?平面A₁C₁FE，
∴平面A₁C₁FE⊥平面B₁D，
作HG⊥MN，則HG⊥平面A₁C₁FE．
梯形DD₁MN中，DD₁=1，MD₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，MN=$\sqrt{1+\frac{1}{8}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
設(shè)HG=y，MG=x，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{3}{4}}\\{（\frac{3\sqrt{2}}{8}-x）^{2}+{y}^{2}=（\frac{5\sqrt{2}}{8}）^{2}}\end{array}\right.$，∴HG=y=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．