Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²，且關(guān)于x的方程f（x）+a=0有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（0，$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+a=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a，把方程f（x）+a=0有三個不等的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的極大值大于0且極小值小于0，聯(lián)立不等式組求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令g（x）=f（x）+a=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a，
得g′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
當a=0時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，不合題意；
當a＜0時，x∈（-∞，a），（0，+∞）時，g′（x）＞0；x∈（a，0）時，g′（x）＜0．
∴x∈（-∞，a），（0，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增；x∈（a，0）時，g（x）單調(diào)遞減，
∴x=a時函數(shù)有極大值為g（a）=${a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a$，x=0時函數(shù)有極小值為g（0）=a．
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得a$＜-\sqrt{2}$；
當a＞0時，x∈（-∞，0），（a，+∞）時，g′（x）＞0；x∈（0，a）時，g′（x）＜0．
∴x∈（-∞，0），（a，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增；x∈（0，a）時，g（x）單調(diào)遞減，
∴x=0時函數(shù)有極大值為g（0）=a，x=a時函數(shù)有極小值為g（a）=${a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a$．
由$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a＜0}\end{array}\right.$，解得a$＞\sqrt{2}$．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查根的存在性及根的公式判斷，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，極值的正負是解決此問題的關(guān)鍵．是中檔題．