過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。  
（Ⅰ）當(dāng)時，求證：⊥；
（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求值；若不在，說明理由。
（Ⅰ）略
（Ⅱ）存在，使得對任意的，都有成立，證明略
解：本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，
考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力。（12分）
依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有

由消去x可得                     ……………2分   
從而有          ①
于是    ②
又由，可得  ③…………4分   
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時，點即為拋物線的焦點，為其準(zhǔn)線
此時 ①可得        ……………5分
證法1：
        ……………6分
證法2：
            …………6分
         
(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：
證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有
                           ………8分  
   ………10分
將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立                                                                                                                 ……………12分
證法2：如圖2，連接,則由可得
,
所以直線經(jīng)過原點O，同理可證直線也經(jīng)過原點O  ……………9分
又設(shè)
則            …………12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線方程為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B。
（1）求證：A，M，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）已知當(dāng)M點的坐標(biāo)為時，，求此時拋物線的方程；
（3）是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標(biāo)原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點為圓心）
（I）求圓的方程；
（II）設(shè)圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在拋物線上，橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5，則的值為___________

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線AB過拋物線的焦點F，與拋物線相交于A、B兩點，且|AB|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（  ）
A．1       B．    C．   D．2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，（   ）
A．   B．1   C．   D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C的頂點在原點，焦點F與雙曲線的右焦點重合，過點P（2，0）且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點。
（1）求弦長|AB|；
（2）求弦AB中點到拋物線準(zhǔn)線的距離。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線的頂點在原點,焦點在軸的正半軸上,為焦點,為拋物線上的三點,
且滿足,,則拋物線的方程為__________________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F是拋物線的焦點，Q為準(zhǔn)線與軸的交點，直線經(jīng)過點Q．
（Ⅰ）直線與拋物線有唯一公共點，求的方程；
（Ⅱ）直線與拋物線交于A、B兩點記FA、FB
的斜率分別為，．求證：為定值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案