Question

5．要制作一個(gè)容積為8m³，高不低于3m，底部矩形長為2m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米40元，側(cè)面造價(jià)是每平方米20元，求該容器的最低總造價(jià)以及此時(shí)容器底部矩形的寬？

Answer 1

分析 此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，設(shè)設(shè)池底寬分別為a，高為h（h≥3m），成本為y，建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．

解答 解：設(shè)池底寬分別為a，高為h（h≥3m），成本為y，
則∵長方形容器的容器為8m³，底部矩形長為2m，
∴2ah=8，∴ah=4．
∵該容器的底面造價(jià)是每平方米40元，側(cè)面造價(jià)是每平方米20元，
y=2a•40+20[2（a+2）h]=80（a+h）+160=80（$\frac{4}{h}$+h）+160，
∵h(yuǎn)≥3，∴$\frac{4}{h}$+h≥$\frac{13}{3}$
故當(dāng)h=3m，a=$\frac{4}{3}$m時(shí)，y取最小值$\frac{1520}{3}$元，
當(dāng)容器底面池底寬為$\frac{4}{3}$m時(shí)，使得容器總造價(jià)最低，最小值為$\frac{1520}{3}$元．

點(diǎn)評 本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于中檔題．