Question

16．（理）如圖在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB=OC=3，OA=4，給出如下判斷：
①存在點D（O點除外），使得四面體DABC有三個面是直角三角形；
②存在點D，使得點O在四面體DABC外接球的球面上；
③存在唯一的點D使得OD⊥平面ABC；
④存在點D，使得四面體DABC是正棱錐；
⑤存在無數個點D，使得AD與BC垂直且相等．
其中正確命題的序號是①②④⑤（把你認為正確命題的序號填上）．

Answer 1

分析 ①，取D為長方體的一個頂點，使得A，B，C是與D相鄰的三個頂點，則可使四面體ABCD有3個面是直角三角形；
②，取同①的點D，使得點O與D為相對的兩個長方體的頂點，利用長方體一定有外接球即可得出；
③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點D可以是該直線上任意點；
④，作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點D使四面體ABCD是正三棱錐．
⑤過點A作BC的垂面，垂面內過AD的每一條都垂直BC，；

解答 解：對于①，取D為長方體的一個頂點，使得A，B，C是與D相鄰的三個頂點，則可使四面體ABCD有3個面是直角三角形，故正確；
對于②，∵二面角C-OA-B為直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的點D，使得點O與D為相對的兩個長方體的頂點，則點O在四面體ABCD的外接球球面上，故正確；
對于③，過O可以作一條直線與面ABC垂直，點D可以是該直線上任意點，故錯
④作△CBD為正三角形，使得AD=DB，則點D使四面體ABCD是正三棱錐，故正確．
⑤過點A作BC的垂面，垂面內過AD的每一條都垂直BC，故正確；
故答案為：①②④⑤

點評 本題考查了長方體的性質、四面體的性質、線面垂直的判定與性質，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題