Question

12．雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$
（1）點(diǎn)A₁（-a，0），A₂（a，0），動點(diǎn)P在E上，作A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）點(diǎn)M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）為E上的定點(diǎn)，點(diǎn)P為E上的動點(diǎn)，作MP⊥MQ，NP⊥NQ，求Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₀，y₀）（x≠±a），Q（x，y）．由條件$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=-1}\\{\frac{y}{x-a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-1}\end{array}\right.$，解得x₀，y₀，代入雙曲線化簡即可得出．
（2）設(shè)Q（x，y），P（x₁，y₁），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1．可得$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}}{^{2}}$．根據(jù)MP⊥MQ，NP⊥NQ，可得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（x₁-x₀）（x-x₀）+（y₁-y₀）（y-y₀）=0，$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=（x₁+x₀）（x+x₀）+（y₁+y₀）（y+y₀）=0，于是$（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$$（{x}^{2}-{x}_{0}^{2}）$+$（{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}）$$（{y}^{2}-{y}_{0}^{2}）$=0，即可得出根據(jù)方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀）（x≠±a），Q（x，y）．
∵A₁（-a，0），A₂（a，0）．
由條件$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=-1}\\{\frac{y}{x-a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-1}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-x（x≠±a）}\\{{y}_{0}=\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{y}}\end{array}\right.$，
而點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線上，∴b²x₀²-a²y₀²=a²b²．
即b²（-x²）-a²（$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{y}$）²=a²b²
化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a²x²-b²y²=a⁴（x≠±a）．
（2）設(shè)Q（x，y），P（x₁，y₁），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}}{^{2}}$（*）
∵M(jìn)P⊥MQ，NP⊥NQ，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（x₁-x₀）（x-x₀）+（y₁-y₀）（y-y₀）=0，
$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=（x₁+x₀）（x+x₀）+（y₁+y₀）（y+y₀）=0，
∴$（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$$（{x}^{2}-{x}_{0}^{2}）$+$（{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}）$$（{y}^{2}-{y}_{0}^{2}）$=0，（**）
把（*）代入（**）可得：a²x²-b²y²=${a}^{2}{x}_{0}^{2}$-$^{2}{y}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了求軌跡方程的方法、數(shù)量積于是性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．