Question

13．已知函數(shù)f（x）=（2x-4）e^x+a（x+2）²（x＞0，a∈R，e是自然對數(shù)的底）．
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)$a∈（0，\frac{1}{2}）$時，證明：函數(shù)f（x）有最小值，并求函數(shù)f（x）最小值的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，從而求出最小值的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=2e^x+（2x-4）e^x+2a（x+2）=（2x-2）e^x+2a（x+2），
依題意：當(dāng)x＞0時，函數(shù)f'（x）≥0恒成立，即$a≥-\frac{{（x-1）{e^x}}}{x+2}$恒成立，
記$g（x）=-\frac{{（x-1）{e^x}}}{x+2}$，則$g'（x）=-\frac{{x{e^x}（x+2）-（x-1）{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}$=$-\frac{{（{x^2}+x+1）{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}＜0$，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以$g（x）＜g（0）=\frac{1}{2}$，所以$a≥\frac{1}{2}$；---（6分）
（Ⅱ）因為[f'（x）]'=2xe^x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
又f'（0）=4a-2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0
且當(dāng)a→0時t→1，當(dāng)$a→\frac{1}{2}$時t→0，所以t的取值范圍是（0，1）．-------（8分）
又當(dāng)x∈（0，t），f'（x）＜0，當(dāng)x∈（t，+∞）時，f'（x）＞0，
所以當(dāng)x=t時，$f{（x）_{min}}=f（t）=（2t-4）{e^t}+a{（t+2）^2}$．且有$f'（t）=0⇒a=-\frac{{（t-1）{e^t}}}{t+2}$
由（Ⅰ）知$a=-\frac{{（t-1）{e^t}}}{t+2}=g（t）$，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又$g（0）=\frac{1}{2}$，g（1）=0，且$a∈（0，\frac{1}{2}）$，故t∈（0，1），
∴$f{（x）_{min}}=f（t）=（2t-4）{e^t}-（t-1）（t+2）{e^t}={e^t}（-{t^2}+t-2）$，t∈（0，1）-------（10分）
記h（t）=e^t（-t²+t-2），則h'（t）=e^t（-t²+t-2）+e^t（-2t+1）=e^t（-t²-t-1）＜0，
所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范圍是（-2e，-2）．-------（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．