Question

2．觀察下列三角形數(shù)表：

假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為${a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，
（1）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式，并求出a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a_nb_n=1（n≥2），求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的關(guān)系歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式，利用累加法求解即可．
（2）利用放縮法化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，通過(guò)裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解即可．

解答 解：（1）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2，
${a_n}={a_2}+（{{a_3}-{a_2}}）+（{{a_4}-{a_3}}）+…+（{{a_n}-{a_{n-1}}}）=2+2+3+…+（{n-1}）=2+\frac{{（{n-2}）（{n+1}）}}{2}$，
所以${a_n}=\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n+1（{n≥2}）$；
（2）因?yàn)閍_nb_n=1，所以${b_n}=\frac{2}{{{n^2}-n+2}}＜\frac{2}{{{n^2}-n}}=2（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$，${b_2}+{b_3}+{b_4}+…+{b_n}＜2[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）}]=2（{1-\frac{1}{n}}）＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．