Question

7．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，AA₁=5，則異面直線BD₁與AC所成角的余弦值為$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與BD₁所成角的余弦值．

解答 解：建立如圖坐標(biāo)系，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，AA₁=5，
∴D₁（0，0，5），B（3，4，0），
A（3，0，0），C（0，4，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-3，-4，5），$\overrightarrow{AC}$=（-3，4，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{9-16}{\sqrt{9+16+25}•\sqrt{9+16}}$=-$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．
∴AC與BD₁所成角的余弦值$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．
故答案為：$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．