Question

8．對于命題p：?x₀∈R，使${sin^2}{x_0}+\frac{4}{{{{sin}^2}{x_0}}}$最小值為4；命題q：?x∈R，都有x²+x+1＞0，給出下列結論正確的是（　�。�

• A． 命題“p∧q”是真命題
• B． 命題“￢p∧q”是真命題
• C． 命題“p∧￢q”是真命題
• D． 命題“￢p∨￢q”是假命題

Answer 1

分析 令t=sin²x₀，結合對勾函數(shù)的圖象和性質，可判斷命題p；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，可判斷命題q，進而結合復命題真假判斷的真值表，可得答案．

解答 解：令t=sin²x₀，則t∈[0，1]，${sin^2}{x_0}+\frac{4}{{{{sin}^2}{x_0}}}$=t+$\frac{4}{t}$，
∵y=t+$\frac{4}{t}$在（0，1]上為減函數(shù)，
故當t=1時，t+$\frac{4}{t}$取最小值5，
故命題p：?x₀∈R，使${sin^2}{x_0}+\frac{4}{{{{sin}^2}{x_0}}}$最小值為4為假命題；
∵y=x²+x+1的圖象是開口朝上，且與x軸無交點的拋物線，
故命題q：?x∈R，都有x²+x+1＞0為真命題；
故命題“p∧q”是假命題；
命題“￢p∧q”是真命題；
命題“p∧￢q”是假命題；
命題“￢p∨￢q”是真命題；
故選：B．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了對勾函數(shù)的圖象和性質，恒成立問題等知識點，難度中檔．