【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB,AC3, BC2,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn).

(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn),求PA的長(zhǎng);

(2)若∠BPC,設(shè)∠PCBθ,求△PBC的面積S(θ)的解析式,并求S(θ)的最大值.

【答案】(1) 2S(θ) ,S(θ)的最大值為

【解析】試題分析:(1)在△PAC中,已知兩邊一角求第三邊,根據(jù)余弦定理可得(2)先由正弦定理用θ表示PC,再根據(jù)三角形面積公式得S(θ),利用二倍角公式以及配角公式將S(θ)化為基本三角函數(shù)形式,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值

試題解析: 解 (1)解法一:∵P是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn),且BC=2,

∴∠PCB,PC

又∵∠ACB,∴∠ACP,

在△PAC中,由余弦定理得PA2AC2PC2-2AC·PCcos=5,∴PA.

解法二:依題意建立如圖直角坐標(biāo)系,則有C(0,0),B(2,0),A(0,3),

∵△PBC是等腰直角三角形,∠ACB,

∴∠ACP,∠PBC,

∴直線PC的方程為yx,直線PB的方程為y=-x+2,

P(1,1),

PA

(2)在△PBC中,∠BPC,∠PCBθ,

∴∠PBCθ,

由正弦定理得

PBsinθ,PCsin

∴△PBC的面積S(θ)=PB·PCsin

sinsinθ

=2sinθcosθsin2θ=sin2θcos2θ

sin,θ

∴當(dāng)θ時(shí),△PBC面積的最大值為.

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