Question

已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）若軌跡C與圓M：（x-5）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點，求r的取值范圍；
（3）已知點B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心C（x，y），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|=

1

2

|MN|，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用兩點間的距離公式即可得出；
（2）聯(lián)立拋物線方程和圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0，兩根之和大于0，兩根之積大于0聯(lián)立不等式組求解r的取值范圍；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.y12=8x1，y22=8x2．利用角平分線的性質(zhì)可得k_PB=-k_QB，可化為化為8+y₁y₂=0．又直線PQ的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，代入化簡整理為y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，則x=1即可得到定點．

解答：解：（1）設(shè)圓心C（x，y），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|=

1

2

|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化為y²=8x；
（2）聯(lián)立

y2=8x (x-5)2+y2=r2

，得x²-2x+25-r²=0．
∵軌跡C與圓M：（x-5）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點，
∴

△=(-2)2-4(25-r2)＞0 25-r2＞0

，
解得2

6

＜r＜5；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.y12=8x1，y22=8x2．
∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴k_PB=-k_QB，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，∴

y1

y12 8 +1

=-

y2

y22 8 +1

，化為8+y₁y₂=0．
直線PQ的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∴y-y1=

y2-y1

y22 8 - y12 8

(x-x1)，化為y-y1=

8

y2+y1

(x-

y12

8

)，
化為y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-y12，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，則x=1，
∴直線PQ過定點（1，0）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了判別式法判斷兩曲線的位置關(guān)系，考查了直線恒過定點問題，綜合運用了拋物線的性質(zhì)、直線斜率之間的關(guān)系及直線的方程的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的運算能力，屬壓軸題．