Question

已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx，設(shè)f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求f′（

π

2

）的值；
（2）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，令x=

π

2

，即可得到；
（2）由題意可得f′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立解出即可；
（3）利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性與極值即最值，得到值域即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+xsinx+cosx，
則f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=2x+xcosx，
則f′（

π

2

）=2×

π

2

+

π

2

cos

π

2

=π；
（2）由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，
則f′（a）=0，即有2a+acosa=0，解得，a=0，
則切點(diǎn)為（0，1），則b=1，
即有a=0，b=1；
（3）由于f′（x）=x（2+cosx）．
于是當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
則當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值f（0）=1，
故當(dāng)b＞1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
故b的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值及其幾何意義是解題的關(guān)鍵．