Question

1．已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）=x²+x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)g（x）任一點(diǎn)P（x₀，y₀），則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P'（-x₀，-y₀）在f（x）圖象上，故有-y₀=（-x₀）²+（-x₀），即y₀=-x₀²+x₀ ，從而得到函數(shù)g（x）的解析式．
（Ⅱ）h（x）=（-1-λ）x²+（1-1λ）x+1，λ=-1時(shí)，h（x）=2x+1，在[-1，1]上是增函數(shù)；λ≠-1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得λ的范圍，合并λ=-1即得λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)g（x）任一點(diǎn)P（x₀，y₀），則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P'（-x₀，-y₀）在f（x）圖象上，
則-y₀=（-x₀）²+（-x₀），即y₀=-x₀²+x₀ ，
∴g（x）=-x²+x．
（Ⅱ）h（x）=-x²+x-λ（x²+x）+1=（-1-λ）x²+（1-λ）x+1；
即h（x）=（-1-λ）x²+（1-λ）x+1；
①若λ=-1，h（x）=2x+1，滿足在[-1，1]上是增函數(shù)；
②若λ≠-1，h（x）是二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=$\frac{1-λ}{2（1+λ）}$；
（�。┊�(dāng)λ＜-1時(shí)，$\frac{1-λ}{2（1+λ）}$≤-1，解得-3≤λ＜-1，
（ⅱ）當(dāng)λ＞-1時(shí)，$\frac{1-λ}{2（1+λ）}$≥1，解得=1＜λ≤-$\frac{1}{3}$．
綜上，-3≤λ≤-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，求解析式的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性，求得對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．