Question

已知函數(shù)，.
（1）已知區(qū)間是不等式的解集的子集，求的取值范圍；
（2）已知函數(shù)，在函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn)、，若存在使得恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）將不等式在區(qū)間上恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)
中對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間的最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）將不等式進(jìn)行變形得到，構(gòu)造函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化在區(qū)間單調(diào)遞增來處理，得到，即，圍繞對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，通過逐步構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行求解，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）
①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)
由題意可知，即，；
②當(dāng)時(shí)，，解得：，
，；，，
故有：當(dāng)，即：時(shí)，即滿足題意
即，構(gòu)建函數(shù)，
，當(dāng)時(shí)為極大值點(diǎn)，有，
故不等式無解；
當(dāng)，即時(shí)，，即，
解得： ，；
當(dāng)，即時(shí)，，即，
解得：，；
綜上所述: ；
（2）由題意可知：，可設(shè)任意兩數(shù)，
若存在使得成立，即: ，
構(gòu)建函數(shù)：，為增函數(shù)即滿足題意，即恒成立即可
，構(gòu)建函數(shù)，,
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù) 
則不存在使得恒成立， 故不合題意；
當(dāng)時(shí)，，可解得；
當(dāng)時(shí)，可知，即為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
，由于存在使得該式恒成立，
即， 由（1）可知當(dāng)時(shí)，，
綜上所述的最大值為.