Question

17．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜邊AB=$\sqrt{2}$，側(cè)棱AA₁=2，點D為AB的中點，點E在線段AA₁上，AE=λAA₁（λ為實數(shù)）．
（1）求證：不論λ取何值時，恒有CD⊥B₁E；
（2）當λ=$\frac{1}{3}$時，求多面體C₁B-ECD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得CD⊥AB．再由AA₁⊥平面ABC，得AA₁⊥CD．利用線面垂直的判定可得CD⊥平面ABB₁A₁．進一步得到CD⊥B₁E；
（2）當λ=$\frac{1}{3}$時，$AE=\frac{1}{3}A{A}_{1}=\frac{2}{3}$．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜邊$AB=\sqrt{2}$，得AC=BC=1．然后利用${V}_{{C}_{1}B-ECD}={V}_{{C}_{1}-BCE}+{V}_{D-BCE}$結(jié)合等積法得答案．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，點D為AB的中點，∴CD⊥AB．
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD．
又∵AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
∵點E在線段AA₁上，∴B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E；
（2）解：當λ=$\frac{1}{3}$時，$AE=\frac{1}{3}A{A}_{1}=\frac{2}{3}$．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜邊$AB=\sqrt{2}$，∴AC=BC=1．
∴${V_{{C_1}-CBE}}={V_{E-{C_1}BC}}=\frac{1}{3}AC•{S_{△{C_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2=\frac{1}{3}$，
${V_{D-BEC}}={V_{E-CDB}}=\frac{1}{3}AE•{S_{△DBC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$，
∴$V=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}=\frac{7}{18}$．

點評 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求得多面體的體積，是中檔題．