Question

拋物線y²=4x上的點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離為d₁，到直線3x-4y+9=0的距離為d₂，則d₁+d₂的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由拋物線性質(zhì)可知d₁=1+x．又根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得d₂=

|3x-8 x +9|

9+16

，進(jìn)而可得到d₁+d₂表達(dá)式，再根據(jù)x的范圍確定d₁+d₂的范圍，求得最小值．

解答：解：y²=4x  p=2 準(zhǔn)線為x=-1；設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），到拋物線準(zhǔn)線的距離是d₁=1+x．
d₂=

|3x-8 x +9|

9+16

∴d₁+d₂=

3x-8 x +9+5x

5

令

x

=t，上式得：

8t2-8t+14

5

=

[8(t- 1 2 )2+12]

5

但t=

1

2

，即x=

1

4

時(shí)，d1+d2有最小值

12

5

故答案為：

12

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系．要注意利用好拋物線的定義．