精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知f(x)=
ax+b
x2+1
是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且滿足f(
1
2
)=
2
5
，f(0)=0
（1）求實數a，b，并確定函數f（x）的解析式
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數．
分析：（1）利用函數的奇偶性即可求出；
（2）利用函數的單調性即可證明．
解答：解：（1）由滿足f(
1
2
)=
2
5
，f(0)=0，
∴
1
2
a+b
1
4
+1
=
2
5
b=0
，解得
a=1
b=0
．
∴a=1，b=0，f(x)=
x
x2+1
；
（2）證明：設-1＜x1＜x2＜1，
f(x2)-f(x1)=
x2
x
2
2
+1
-
x1
x
2
1
+1
=
x2x12+x2-x1
x
2
2
-x1
(
x
2
2
+1)(
x
2
1
+1)
=
(x2-x1)(1-x1x2)
(x22+1)(x12+1)
，
∵-1＜x1＜x2＜-1，∴-1＜x1•x2＜1，即1-x1x2＞0，x2-x1＞0，x12+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
所以函數f（x）在（-1，1）上是增函數．
點評：熟練掌握函數的奇偶性和單調性是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=A
x
+B
1-x
(A＞0，B＞0)．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若g(x)=
mx-1
+
1-nx
(m＞n＞0)，如何由（2）的結論求g（x）的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=ax-
1x
，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常數）．
（1）求曲線y=g（x）在點P（1，g（1））處的切線l．
（2）是否存在常數a，使l也是曲線y=f（x）的一條切線．若存在，求a的值；若不存在，簡要說明理由．
（3）設F（x）=f（x）-g（x），討論函數F（x）的單調性．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=ax-2
4-ax
 -1?(a＞0且a≠1)
（1）求f（x）的定義域；
（2）是否存在實數a使得函數f（x）對于區(qū)間（2，+∞）上的一切x都有f（x）≥0？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax+1x-1
，x∈（1，+∞），f（2）=3
（1）求a；
（2）判斷并證明函數單調性．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖南模擬）已知f(x)=ax+
bx
+3-2a(a，b∈R)的圖象在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行．
（1）求a與b滿足的關系式；
（2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案